Ngoài những cấu trúc phụ thêm vào trường, có một số khái niệm khác liên quan đến trường. Do trong một trường 0 ≠ 1, bất kỳ trường nào cũng có ít nhất hai phần tử. Tuy nhiên, có khái niệm trường có một phần tử, được đề nghị là giới hạn của những trường hữu hạn Fp, khi p tiến đến 1.[54] Ngoài vành chia, còn một số cấu trúc đại số yếu hơn liên quan tới trường như tựa trường, gần-trường và nửa trường.

Vành chia

Bỏ một hoặc vài tiên đề trong định nghĩa của trường dẫn đến nhiều cấu trúc đại số khác. Như đã nói ở trên, vành giao hoán thỏa mãn tất cả tính chất của trường, ngoại trừ sự tồn tại của phần tử nghịch đảo phép nhân. Nếu ta bỏ điều kiện phép nhân có tính giao hoán thì dẫn đến khái niệm của một vành chia.[nb 5] Những vành chia duy nhất là R-không gian vectơ hữu hạn chiều là chính R, C (một trường), những số quaternion H (trong đó phép nhân không có tính giao hoán), và octonion O (trong đó phép nhân không giao hoán và không kết hợp). Điều này được chứng minh sử dụng các phương pháp của tôpô đại số năm 1958 bởi Michel Kervaire, Raoul Bott, và John Milnor.[55] Sự không tồn tại của một đai số chia có số chiều lẻ đã được biết từ trước đó và có thể được suy ra từ định lý quả bóng lông.